суббота, 9 февраля 2013 г.

дискретная модель чисел фибоначчи

Содержание   1       Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. БелинскогоО. А. Монахова ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. АЛГЕБРА ОТНОШЕНИЙ Учебно-методическое пособие Пенза 2008 Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского О. А. МонаховаДискретная математика. Алгебра отношений Учебно-методическое пособие Пенза 2008 Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского ^ государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского УДК 51(075) Монахова, О. А. Дискретная математика. Алгебра отношений: Учебно-методическое пособие / О. А. Монахова. Пенза, 2008. 50 с. В пособии рассмотрены некоторые вопросы теории рекуррентных последовательностей, теории суммирования и теории графов. Кратко изложен теоретический материал, подобраны упражнения, раскрывающие содержание основных понятий, в каждом разделе приводится решение типовых задач, а также подобраны задания для самостоятельной работы. Пособие предназначено для студентов физико-математических факультетов педагогических университетов, а также будет полезно студентам других математических специальностей.Научный редактор кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского А. Я. Султанов Монахова О. А., 2008^ РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИРешение однородных рекуррентных соотношений1. Задачи, приводящие к рекуррентным соотношениям Основы теории рекуррентных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром и одним из первых членов Петербургской Академии наук, швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развёрнутую теорию дал крупнейший математик восемнадцатого века, петербургский академик Леонард Эйлер. В дальнейшем эта теория нашла широкое применение, в частности в различных разделах математической физики, при построении математических моделей экономических процессов. Понятие рекуррентной последовательности является обобщением понятий арифметической и геометрической прогрессии. Одной из старинных задач, где появляется рекуррентная последовательность, является задача итальянского средневекового математика Фибоначчи. В задаче требуется определить число пар зрелых кроликов, образовавшихся от одной пары в течение года, если известно, что каждая зрелая пара кроликов ежемесячно рождает новую пару, причём новорожденные достигают полной зрелости в течение месяца. В финансовой математике нередко приходится решать задачи, связанные с кредитами. Пусть известна общая сумма кредита, ежемесячно погашаемая сумма, зафиксирована ежемесячная процентная ставка по кредиту. Требуется определить сумму ежемесячного платежа по кредиту в конце каждого месяца. При решении подобных задач используется теория рекуррентных последовательностей. В некоторых своих вопросах эта теория имеет аналогию с теорией однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 2. Определение рекуррентной последовательности Определение. Последовательность u1, u2, , un, элементов поля P называется рекуррентной (возвратной) последовательностью порядка k, если её члены удовлетворяют равенству (рекуррентному соотношению) (1). Здесь и далее в тексте n принимает значения во множестве N натуральных чисел. (1) где k фиксированное натуральное число, называемое порядком рекуррентности, Ci фиксированные элементы поля P, называемые коэффициентами рекуррентного соотношения, f(n) некоторая функция, натурального аргумента, принимающая значения в поле Р. Последовательность {un}, члены которой удовлетворяют соотношению (1), называется решением соотношения (1). Рассмотрим примеры рекуррентных последовательностей над полем R действительных чисел. Примеры. 1. Последовательность Фибоначчи рекуррентная второго порядка, определяется соотношением un+2 = un+1 + un, и1 = и2 = 1. Члены этой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, называются числами Фибоначчи. 2. Геометрическая прогрессия рекуррентная последовательность первого порядка, её члены удовлетворяют соотношению bn+1 = qbn, q знаменатель прогрессии. 3. Арифметическая прогрессия рекуррентная последовательность первого порядка: an+1 = an + d, d разность прогрессии.3. Решение однородных рекуррентных соотношений Определение. Рекуррентная последовательность {un} называется однородной порядка k (k N), если её члены удовлетворяют соотношению: un+k+С1 un+k-1 + +Сk un =0, (2) где Сi произвольные постоянные из поля Р. Свойство 1. Сумма решений рекуррентного соотношения (2) является решением соотношения (2). Свойство 2. Произведение решения рекуррентного соотношения (2) на элемент поля Р является решением соотношения (2). Следствие. Множество решений соотношения (2) относительно операций сложения решений и умножения решений на скаляры из поля Р образует векторное пространство над полем Р.

0.49 Mb.Название страница1/4Дата конвертации09.10.2012Размер0.49 Mb.Тип источник

Дискретная математика. Алгебра отношений

Дискретная математика. Алгебра отношений

Комментариев нет:

Отправить комментарий